---
kurs:
  - F0006T
tags:
  - fysik
  - mekanik
  - rotation
förkunskaper:
  - "[[Kinematik]]"
  - "[[Rotation]]"
status: utkast
aliases:
  - Rotation och translation
---
> **Kurs:** F0006T
> **Förkunskaper:** [[Kinematik]], [[Rotation]]

---

## 1. Rörelseuppdelning

En stel kropps allmänna rörelse kan delas upp i **translation** av masscentrum plus **rotation** kring masscentrum:

$$
\boxed{\;\vec v_P = \vec v_{cm} + \vec\omega \times \vec r_{P/cm}\;}
$$

![[allman-rorelse.png|780]]

---

## 2. Kinetisk energi

$$
\boxed{K = \tfrac{1}{2}M v_{cm}^2 + \tfrac{1}{2}I_{cm}\omega^2}
$$

- $K_{tr} = \tfrac{1}{2}M v_{cm}^2$ — translationsenergi för masscentrum
- $K_{rot} = \tfrac{1}{2}I_{cm}\omega^2$ — rotationsenergi kring masscentrum

> [!example]- Exempel — rullning utan glidning
> Kontaktpunkten har momentan hastighet $0$; masscentrum rör sig med $v_{cm} = \omega R$.
>
> Bilden visar att rörelsen hos ett rullande hjul är summan av den translationella rörelsen för masscentrum och hjulets rotation kring masscentrum.
>
> ![[Pasted image 20260427131530.png]]

> [!example]- Demo — Elfgrens birre
> Erik Elfgren rullar ner tre Norrlands Guld för ett lutande plan $\phi \approx 15°$. De är fyllda med:
> - Sand 50 %
> - Öl 100 %
> - Luft 100 %
>
> Den med öl rullar ner snabbast, sedan den tomma, sedan den med sand.
>
> **Tom:**
>
> $a_{A,cm} = 0{,}57g\sin\phi$
>
> **Sandfylld:**
>
> $m \approx m_s$ där $m_s$ är sandens massa. Antag homogen cylinder eftersom sanden följer med rotationen:
> $I_{B,cm} = \dfrac{m_s R^2}{2}$
> $$A_{B,cm} = \frac{g\sin\phi}{\dfrac{M_s R^2/2}{m_s R^2} + 1}$$
>
> **Ölfylld:**
>
> $M = M_{öl} + M_b$, antag $M_{öl} = 24M_b$ och att ölet ej roterar $\implies I_{C,cm} = I_{A,cm}$
>
> $a_{C,cm} = 0{,}97g\sin\phi$
>
> (liten kula $\implies I_{cm} = 0 \implies a_{cm} = g\sin\phi$)
>
> ![[Pasted image 20260427140812.png]]

---

## 3. Arbete och effekt vid rotation

En kraft $\vec F$ som verkar tangentiellt på en roterande stel kropp på avståndet $R$ från rotationsaxeln ger vridmomentet $\tau = F_t R$. Eftersom båglängden $ds = R\,d\theta$ blir arbetet

$$
W_{rot} = \int \vec F\cdot d\vec s = \int F_t\,ds = \int \tau\,d\theta
$$

Med [[Momentekvationen|momentekvationen]] $\tau = I\alpha$ och kedjeregeln $\alpha\,d\theta = \omega\,d\omega$ ger detta **arbets-energiprincipen för rotation**:

$$
\boxed{\,W_{rot} = \tfrac{1}{2}I\bigl(\omega_2^2 - \omega_1^2\bigr) = \Delta K_{rot}\,}
$$

Rotationens analogi till $W_{tr} = \tfrac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2) = \Delta K_{tr}$.

Momentan effekt:

$$
\boxed{\,P_{rot} = \tau\,\omega\,}
$$

Rotationens motsvarighet till $P_{tr} = \vec F \cdot \vec v$.

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=338|10.3 Rigid-Body Rotation About a Moving Axis]]

## Se även

- [[Rotation]]
- [[Rotationsmekanik]]
- [[Masscentrum]]
- [[Momentancentrum]]