---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - koordinater
förkunskaper:
  - "[[Polära koordinater]]"
status: utkast
aliases:
  - Cylinderkoordinater
  - Cylindrical coordinates
---

> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Polära koordinater]]

---

## 1. Definition

Cylindriska koordinater är [[Polära koordinater|polära koordinater]] i $xy$-planet kompletterade med den oförändrade $z$-koordinaten:

$$
\boxed{\;\begin{cases}x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ z = z\end{cases}\;}
$$

med $r\ge 0$, $\theta\in[0,2\pi)$ och $z\in\mathbb R$.

![[cylindrisk-koord.png|520]]

## 2. Volymelement

Vid variabelbyte till cylindriska koordinater är [[Variabelbyte i trippelintegraler|jacobianen]] $r$, så

$$
\boxed{\;dV = r\,dr\,d\theta\,dz\;}
$$

— samma extra faktor $r$ som i polära koordinater för $dA$.

## 3. När det lönar sig

Cylindriska koordinater passar när problemet har **axiell symmetri** kring $z$-axeln — cylindrar, paraboloider, koner som är centrerade på $z$-axeln. Då blir gränserna i $r$, $\theta$, $z$ ofta konstanta eller mycket enkla, vilket reducerar trippelintegralen drastiskt.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=626&annotation=6130R|Cylindriska koordinater]]

## Resurser

- [Jeffrey Chasnov: En snabb genomgång av cylindriska koordinater](https://www.youtube.com/watch?v=oACJkN4p4YA&pp=ygUXY3lsaW5kcmljYWwgY29vcmRpbmF0ZXM%3D)  
- [Wikipedia: Cylindriska koordinater]([https://en.wikipedia.org/wiki/](https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system))