---
kurs:
  - M0068M
kapitel: "14.1–14.2"
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - optimering
förkunskaper:
  - "[[Kritiska punkter]]"
  - "[[Gradient och riktningsderivata]]"
  - "[[Partiella derivator]]"
status: utkast
aliases:
  - Extremvärden
  - Optimering på kompakta områden
  - Max och min i flera variabler
  - Globala extremvärden
---

> **Kapitel:** 14.1–14.2 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Kritiska punkter]], [[Gradient och riktningsderivata]], [[Partiella derivator]]

---

## 1. Frågan vi ställer

Givet en funktion $f(x,y)$ och en delmängd $K\subset\mathbb R^2$ — *vilka är $f$:s största och minsta värde på $K$, och i vilka punkter antas de?*

> [!abstract] Grundtanken
> Söket efter globala extremvärden delar upp $K$ i två zoner: **det inre**, där en extrempunkt måste vara [[Kritiska punkter|kritisk]], och **randen** $\partial K$, där $f$ blir en funktion av färre variabler som man kan optimera separat. Resten av jobbet är att lista alla kandidater och jämföra.

![[extrem-weierstrass.png|560]]

Bilden ovan illustrerar det generella läget: en kontinuerlig funktion ($f$ — färgskalan) på ett kompakt område $K$ (det inneslutna området) antar både ett största värde (max, röd) och ett minsta värde (min, blå). Vår uppgift är att lokalisera dem.

> [!important] Weierstrass sats
> Om $f$ är **kontinuerlig** och $K$ är **kompakt** (slutet och begränsat) så antar $f$ både ett maximum och ett minimum på $K$. Frågan är aldrig *om* extremvärden existerar — bara *var* de ligger.

> [!note] Tecken på $\partial$
> Symbolen $\partial$ i $\partial K$ betyder *rand* — den har ingenting med partialderivator att göra, trots notationen. Det är en av flervariabelanalysens trasiga vänner: samma symbol, två betydelser.

---

## 2. Var kan kandidaterna ligga?

Antag att $(x_0,y_0)\in K$ är en punkt där $f$ antar sitt största värde (analogt för minsta). Då måste $(x_0,y_0)$ vara av *en* av följande tre typer:

1. **Inre kritisk punkt** — $(x_0,y_0)$ ligger strikt innanför $K$ och uppfyller $\nabla f=\vec 0$, dvs.
   $$f_x(x_0,y_0)=0\quad\text{och}\quad f_y(x_0,y_0)=0.$$
2. **Inre singulär punkt** — $(x_0,y_0)$ ligger strikt innanför $K$ men $f_x$ eller $f_y$ existerar inte där.
3. **Randpunkt** — $(x_0,y_0)\in\partial K$. Här gäller *inte* nödvändigtvis $\nabla f=\vec 0$; randens geometri kan tvinga $f$ att vara stor (eller liten) i en punkt som ändå inte är kritisk i hela planet.

![[extrem-kandidater.png|560]]

> [!tip] Varför just dessa tre?
> I en inre punkt där $f$ är differentierbar och inte kritisk, pekar $\nabla f$ åt något håll — och då kan man röra sig en liten bit dit och *öka* $f$. Då kan punkten inte vara ett max. Argumentet gäller bara så länge man *får* flytta sig fritt i alla riktningar, vilket man bara får i det inre. På randen är man inlåst.

---

## 3. Metod — steg för steg

> [!important] Receptet
> 1. **Inre kritiska punkter.** Lös ekvationssystemet $f_x=0,\ f_y=0$ och behåll de lösningar som ligger strikt innanför $K$.
> 2. **Inre singulära punkter.** Identifiera punkter där $f_x$ eller $f_y$ inte existerar. För polynom finns inga.
> 3. **Randen.** Parametrisera $\partial K$ styckevis. På varje stycke blir $f$ en envariabelsfunktion — derivera, sätt lika med noll, plocka ut alla lokala extrempunkter samt ändpunkter/hörn.
> 4. **Jämför.** Listan av kandidater är ändlig. Räkna $f$ i varje punkt och välj största och minsta värdet.

> [!warning] Vanliga fallgropar
> - **Glömt randen.** Inre kritiska punkter ger inte hela bilden om $K$ är kompakt.
> - **Behållit kandidater utanför $K$.** En lösning till $\nabla f=\vec 0$ som ligger utanför $K$ är inte en kandidat — kasta bort den.
> - **Glömt hörnen.** På en styckevis slät rand är hörnen alltid kandidater, även om $f$ inte är kritisk där.
> - **Förväxlat lokala och globala.** Lokala extrempunkter inne i $K$ är *kandidater*, inte automatiskt svaret — jämför med randvärdena.

> [!tip] Bivillkor i förklädnad
> Steg 3 — randundersökningen — är samma sak som att optimera $f$ under bivillkoret att $(x,y)$ ligger på randen. När randen ges som en nivåkurva $g(x,y)=0$ används ofta [[Lagranges multiplikatormetod]] istället för parametrisering.

---

## 4. Exempel — skivan

> [!example]- Exempel 1 — $f$ på enhetsskivan
> Sök största och minsta värde hos
> $$f(x,y)=x+x^2+y^2$$
> på $K=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Steg 1 — inre kritiska punkter.**
> > $$\nabla f=\vec 0 \iff \begin{cases}f_x=1+2x=0\\ f_y=2y=0\end{cases}\implies (x,y)=\left(-\tfrac{1}{2},\,0\right).$$
> > Kontroll: $\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+0^2=\tfrac{1}{4}<1$ — punkten ligger strikt innanför $K$. Behålls.
> > $$f\!\left(-\tfrac{1}{2},\,0\right)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+0=-\tfrac{1}{4}.$$
> >
> > **Steg 2 — inre singulära punkter.** $f$ är ett polynom; inga finns.
> >
> > **Steg 3 — randen.** Parametrisera $x^2+y^2=1$ med $x=\cos t,\ y=\sin t,\ t\in[0,2\pi]$:
> > $$g(t)=\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t=\cos t+1.$$
> > $$g'(t)=-\sin t=0 \implies t=0\text{ eller }t=\pi,\quad\text{dvs. } (1,0)\text{ och }(-1,0).$$
> >
> > **Steg 4 — jämför.**
> >
> > | Punkt | Typ | $f$-värde |
> > |---|---|---|
> > | $\left(-\tfrac{1}{2},\,0\right)$ | inre kritisk | $-\tfrac{1}{4}$ |
> > | $(1,\,0)$ | rand | $2$ |
> > | $(-1,\,0)$ | rand | $0$ |
> >
> > $$\boxed{\;f_{\min}=-\tfrac{1}{4}\text{ i }\left(-\tfrac{1}{2},0\right),\qquad f_{\max}=2\text{ i }(1,0).\;}$$
> >
> > ![[extrem-ex1-kontur.png|460]]
> >
> > Nivåkurvorna till $f$ är cirklar runt $\left(-\tfrac{1}{2},0\right)$ — den enda punkten där gradienten är noll. På randen blir $f$ entydigt bestämd av $\cos t$, så störst där $\cos t=1$ (dvs. $(1,0)$) och minst där $\cos t=-1$ (dvs. $(-1,0)$).
> >
> > ![[extrem-ex1-yta.png|480]]
> >
> > 3D-vyn visar varför inre minimum hamnar nära $x=-\tfrac{1}{2}$: ytan är en paraboloid förskjuten åt vänster, så randens högsta punkt $(1,0)$ — där paraboloidens lutning är som störst åt höger — vinner mot bottnen.

---

## 5. Exempel — triangeln

> [!example]- Exempel 2 — $f$ på en triangel
> Sök största och minsta värde hos
> $$f(x,y)=3+x-x^2-y^2$$
> på triangeln $K:\,0\le x\le y\le 1$ (hörn $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$).
>
> > [!note]- Lösning
> > **Steg 1 — inre kritiska punkter.**
> > $$\nabla f=\vec 0 \iff \begin{cases}f_x=1-2x=0\\ f_y=-2y=0\end{cases}\implies (x,y)=\left(\tfrac{1}{2},\,0\right).$$
> > Punkten kräver $x\le y$, dvs. $\tfrac{1}{2}\le 0$ — falskt. Ligger **utanför** $K$. Förkastas.
> >
> > **Steg 2 — inre singulära punkter.** Inga ($f$ är polynom).
> >
> > **Steg 3 — randen.** Tre sidor:
> >
> > - $\gamma_1:\ y=x,\ x\in[0,1]$ — diagonalen
> > - $\gamma_2:\ x=0,\ y\in[0,1]$ — vänsterkanten
> > - $\gamma_3:\ y=1,\ x\in[0,1]$ — toppen
> >
> > **På $\gamma_1$:** $h(x)=f(x,x)=3+x-2x^2$. $h'(x)=1-4x=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{4}$, dvs. $\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right)$.
> > $f\!\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right)=\tfrac{25}{8}$.
> >
> > **På $\gamma_2$:** $h(y)=f(0,y)=3-y^2$, monotont avtagande för $y\ge 0$. Inga inre extrempunkter; bara hörnen räknas.
> >
> > **På $\gamma_3$:** $h(x)=f(x,1)=2+x-x^2$. $h'(x)=1-2x=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}$, dvs. $\left(\tfrac{1}{2},1\right)$.
> > $f\!\left(\tfrac{1}{2},1\right)=\tfrac{9}{4}$.
> >
> > **Hörn:**
> >
> > | Hörn | $f$-värde |
> > |---|---|
> > | $(0,0)$ | $3$ |
> > | $(0,1)$ | $2$ |
> > | $(1,1)$ | $2$ |
> >
> > **Steg 4 — jämför.**
> >
> > | Punkt | Typ | $f$-värde |
> > |---|---|---|
> > | $\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right)$ | rand ($\gamma_1$) | $\tfrac{25}{8}=3{,}125$ |
> > | $(0,0)$ | hörn | $3$ |
> > | $\left(\tfrac{1}{2},1\right)$ | rand ($\gamma_3$) | $\tfrac{9}{4}=2{,}25$ |
> > | $(0,1)$ | hörn | $2$ |
> > | $(1,1)$ | hörn | $2$ |
> >
> > $$\boxed{\;f_{\min}=2\text{ i }(0,1)\text{ och }(1,1),\qquad f_{\max}=\tfrac{25}{8}\text{ i }\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right).\;}$$
> >
> > ![[extrem-ex2-kontur.png|460]]
> >
> > Nivåkurvorna är cirklar runt $\left(\tfrac{1}{2},0\right)$ — det globala maxat av $f$ i hela planet, som ligger utanför triangeln. Den punkt på triangeln som ligger närmast detta "centrum" är $\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\right)$ på diagonalen $\gamma_1$, vilket är var randmaxat hamnar.
> >
> > ![[extrem-ex2-yta.png|480]]
> >
> > Den nedåtvända paraboliska ytan antar sina två minsta värden i triangelns "fjärran" hörn $(0,1)$ och $(1,1)$, som båda ligger lika långt från det utomliggande centrumet.

---

## 6. Vidare — bivillkor och randundersökning

När randen är beskriven *implicit* — som en nivåkurva $g(x,y)=0$ snarare än styckevis parametriserad — blir steg 3 ofta enklare med [[Lagranges multiplikatormetod]]. Då söks punkter där $\vec\nabla f=-\lambda\vec\nabla g$, dvs. där nivåkurvorna till $f$ tangerar bivillkoret.

> [!note] Samma idé, annan språkdräkt
> Randundersökning genom parametrisering och randundersökning via Lagrange ger samma kandidater. Vilken metod som är enklast beror på hur randen är given:
>
> - **Lätt att parametrisera** (rät linje, cirkel, ellips): parametrisera och derivera.
> - **Implicit nivåkurva** ($g(x,y)=0$ med messig form): använd Lagrange.

---

## 7. Sammanfattning

> [!important] Checklista för extremvärdesproblem
> Givet $f$ kontinuerlig på ett kompakt område $K\subset\mathbb R^2$:
>
> 1. **Inre kritiska punkter** — lös $\nabla f=\vec 0$, behåll bara lösningar inuti $K$.
> 2. **Inre singulära punkter** — punkter där partialderivatorna inte existerar.
> 3. **Randen** $\partial K$ — parametrisera styckevis, derivera, samla alla inre extrempunkter och hörn.
> 4. **Jämför** alla kandidater. Störst = max, minst = min.

| Var i $K$ | Villkor i kandidatpunkten |
|---|---|
| Inre, slät | $\nabla f=\vec 0$ |
| Inre, ej differentierbar | $f_x$ eller $f_y$ saknas |
| Rand (parametriserad) | $\dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t))=0$ |
| Rand (implicit $g=0$) | $\vec\nabla f\parallel\vec\nabla g$ (Lagrange) |
| Hörn på styckevis rand | tas med ovillkorligen |

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=792|14.1 Extreme Values]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=800|14.2 Extreme Values on Restricted Domains]]

## Se även

- [[Kritiska punkter]]
- [[Lagranges multiplikatormetod]]
- [[Gradient och riktningsderivata]]
- [[Nivåkurvor och ytor]]
- [[Partiella derivator]]

## Resurser

- [3Blue1Brown / Khan Academy: Lagrange multipliers, using tangency to solve constrained optimization](https://youtu.be/yuqB-d5MjZA) — bygger den geometriska intuitionen för randundersökning.
- [Khan Academy: Maxima, minima and saddle points](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/optimizing-multivariable-functions/v/multivariable-maxima-and-minima)
- [Wikipedia: Extreme value theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem)