--- kurs: - M0068M tags: - matematik - flervariabelanalys - vektoranalys förkunskaper: - "[[Vektorfält]]" - "[[Parametriserade ytor]]" - "[[Ytintegraler]]" - "[[Orientering (kurvor och ytor)]]" status: utkast aliases: - Flöde - Flux - Flow - Flux integral --- > **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Vektorfält]], [[Parametriserade ytor]], [[Ytintegraler]], [[Orientering (kurvor och ytor)]] --- ## 1. Idén — hur mycket "rinner igenom"? Tänk dig att $\vec F$ är hastighetsfältet i en strömmande vätska. Genom en yta $S$ flödar det med en viss takt — så och så många liter per sekund. **Flödesintegralen** mäter exakt den takten. Mer abstrakt: den mäter hur mycket av $\vec F$ som *passerar* $S$, räknat med tecken efter en vald sida. Tre saker att hålla isär: - **Storleken** av $\vec F$ i punkten styr hur stor den lokala genomströmningen är. - **Riktningen** av $\vec F$ relativt ytan avgör om det räknas som flöde *genom* — bara komponenten *vinkelrät* mot $S$ bidrar. - **Orienteringen** av $S$ (vilken sida som är "ut") bestämmer tecknet. > [!abstract] Grundtanken > Endast $\vec F$:s normalkomponent bidrar till flödet. Tangentialdelen "glider längs" och passerar aldrig ytan. ![[flux-through-surface.png|520]] ## 2. Definition Låt $S$ vara en orienterad yta med enhetsnormal $\hat n$ och $\vec F$ ett vektorfält. Flödet av $\vec F$ genom $S$ definieras som [[Ytintegraler|ytintegralen]] $$ \boxed{\;\Phi=\iint_S \vec F\cdot d\vec S=\iint_S \vec F\cdot \hat n\,dS\;} $$ där $d\vec S=\hat n\,dS$ är det vektorvärda arealelementet. Tecknet beror på orienteringen — se [[Orientering (kurvor och ytor)]]. ## 3. Beräkning via parametrisering Med $S$ parametriserad av $\vec r(u,v),\ (u,v)\in D$, är normalvektorn $\vec r_u\times \vec r_v$ och $dS=\|\vec r_u\times \vec r_v\|\,du\,dv$. Då försvinner längden mot normaliseringen: $$ \boxed{\;\iint_S \vec F\cdot d\vec S=\iint_D \vec F\bigl(\vec r(u,v)\bigr)\cdot \bigl(\vec r_u\times \vec r_v\bigr)\,du\,dv\;} $$ Tecknet på $\vec r_u\times \vec r_v$ är det som bestämmer orienteringen — om man vill ha "andra sidan" tar man minus, eller byter parameterordningen. ### Specialfall — graf $z=f(x,y)$ uppåtorienterad För $\vec r(x,y)=(x,y,f(x,y))$ är $\vec r_x\times \vec r_y=(-f_x,-f_y,1)$, så $$ \iint_S \vec F\cdot d\vec S=\iint_D\bigl(-F_1 f_x-F_2 f_y+F_3\bigr)\,dx\,dy. $$ ## 4. Egenskaper - **Linjäritet** i $\vec F$. - **Additivitet** över styckvis släta ytor. - **Orientering**: $\displaystyle\iint_{-S}\vec F\cdot d\vec S=-\iint_S \vec F\cdot d\vec S$ — byter sida, byter tecken. - **Slutna ytor**: konventionen är *utåtorienterad* normal. Då räknar man hur mycket som strömmar *ut* från det inneslutna området, och Gauss sats blir den naturliga räknemetoden. ## 5. Exempel > [!example]- Exempel 1 — flöde av $\vec F=(0,0,1)$ genom en halvsfär > Beräkna flödet av $\vec F=(0,0,1)$ genom övre enhetshalvsfären $S$ med uppåtorienterad normal. > > **Smart genväg.** Eftersom $\vec F$ är konstant och pekar uppåt, är flödet bara $\vec F$:s normalkomponent integrerad över $S$. Men *projektionen* av $S$ på $xy$-planet är enhetsdisken $D$ med area $\pi$. Eftersom $\vec F$ är konstant gäller > $$ > \iint_S \vec F\cdot d\vec S=\iint_D F_3\,dA=\pi. > $$ > > **Direktkontroll.** Med sfärparametrisering $\vec r(\phi,\theta)$ är $\vec r_\phi\times \vec r_\theta=\sin\phi\,\hat r$ och $\vec F\cdot \hat r=\cos\phi$, alltså > $$ > \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\cos\phi\sin\phi\,d\phi\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac{1}{2}=\boxed{\pi}.\quad\checkmark > $$ > [!example]- Exempel 2 — elektriskt flöde genom en sfär (Gauss lag) > Det elektriska fältet kring en punktladdning $q$ i origo är > $$ > \vec E(\vec r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,r^3}\,\vec r,\qquad r=\|\vec r\|. > $$ > > Beräkna flödet av $\vec E$ utåt genom en sfär med radie $a$ centrerad i origo. > > **Sfärparametrisering** ger $\vec r_\phi\times \vec r_\theta=a^2\sin\phi\,\hat r$ och $\vec E\cdot \hat r=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$. Alltså > $$ > \Phi=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\cdot a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi=\boxed{\;\frac{q}{\varepsilon_0}\;}. > $$ > > **Tolkning.** Detta är **Gauss lag** för elektrostatik — flödet ut genom *vilken som helst* sluten yta som omsluter laddningen är samma. Att resultatet är oberoende av $a$ är inte en slump; det är en konsekvens av att $\vec E\propto 1/r^2$ och att sfärens area växer som $r^2$. Klassisk fysik, klassisk matematik. > [!example]- Exempel 3 — flöde av $\vec F=(x,y,z)$ genom enhetssfärens yta > Med $\vec F=(x,y,z)=\vec r$ och $\hat n=\vec r/\|\vec r\|=\vec r$ på enhetssfären: > $$ > \vec F\cdot \hat n=\|\vec r\|^2=1. > $$ > Alltså > $$ > \iint_S \vec F\cdot d\vec S=\iint_S 1\,dS=\text{area}(S)=4\pi. > $$ > Kollas mot [[Gauss sats]]: $\nabla\cdot \vec F=3$, och $\iiint_B 3\,dV=3\cdot\tfrac{4}{3}\pi=4\pi$. $\checkmark$ ## 6. Räknemetod > [!important] Räkneschema för $\displaystyle\iint_S \vec F\cdot d\vec S$ > 1. **Välj parametrisering** $\vec r(u,v)$ och området $D$. > 2. **Bestäm orienteringen** — räkna $\vec r_u\times \vec r_v$ och kolla att den pekar åt rätt håll (annars byter tecknet eller parameterordningen). > 3. **Räkna ut $\vec F\cdot(\vec r_u\times \vec r_v)$** som funktion av $(u,v)$. > 4. **Integrera** över $D$. > > **Alternativ:** är ytan sluten kan [[Gauss sats]] ofta ersätta hela ytintegralen med en *trippelintegral* över divergensen — oftast mycket snabbare. > [!warning] Skalär $\ne$ vektor > $\iint_S f\,dS$ är en **skalär** ytintegral — tecken-okänslig. $\iint_S \vec F\cdot d\vec S$ är **flödesintegralen** — orienteringsberoende. Förväxla inte de två. ## Läsning - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=947|16.6 Oriented Surfaces and Flux Integrals]] ## Se även - [[Ytintegraler]] - [[Vektorfält]] - [[Orientering (kurvor och ytor)]] - [[Gauss sats]] - [[Stokes sats]] - [[Divergens och rotation]] ## Resurser - [Khan Academy: Flux in 3D](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/surface-integrals-articles/a/flux-in-three-dimensions-articles) - [Wikipedia: Flux](https://en.wikipedia.org/wiki/Flux)