---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - vektoranalys
förkunskaper:
  - "[[Vektorfält]]"
  - "[[Parametriserade kurvor]]"
status: utkast
aliases:
  - Arbetsintegral
  - Line integral
  - Kurvintegral av vektorfält
---
> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Vektorfält]], [[Parametriserade kurvor]]

---

## 1. Definition

För ett [[Vektorfält|vektorfält]] $\vec F$ längs en orienterad kurva $C:\ \vec r(t),\ t\in[a,b]$ definieras

$$
\boxed{\;\int_C \vec F\cdot d\vec r=\int_a^b \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r{\,}'(t)\,dt\;}
$$

Tolkningen är *arbetet* utfört av kraftfältet längs kurvan.

![[kurva-vektorfalt.png|520]]

> [!example] Intuitivt exempel — fisken i strömmen
> Tänk dig ett vektorfält som beskriver vattnets flöde i en å, och en fisk som rör sig i vattnet. Fisken följer inte strömmen utan tar sin egen väg. Vi vill veta arbetet $\vec W=\vec F\cdot \vec x$, men kraftens riktning och rörelseriktningen sammanfaller inte. Lösningen är att projicera kraftvektorn på rörelseriktningen,
>
> $$
> W=|\vec F_{\parallel}|\,|\vec x|=|\vec F|\,|\vec x|\cos\theta,
> $$
>
> och i kontinuerlig form (efter Stephans välkända "magic"):
>
> $$
> W=\int_C \vec F\cdot d\vec r=\int_C F_1\,dx+F_2\,dy=\int_C F_1\,dx+\int_C F_2\,dy.
> $$
>
> Med
> - $\vec F=\begin{bmatrix}F_1\\ F_2\end{bmatrix}$,
> - $d\vec r=\dfrac{d\vec r}{dt}\,dt$,
>
> följer
>
> $$
> W=\int_C \vec F\cdot d\vec r=\int_a^b \vec F\cdot \frac{d\vec r}{dt}\,dt.
> $$

---

## 2. Beräkningsexempel — vägberoende

Låt $\vec F=y^2\hat i+2xy\,\hat j=\begin{bmatrix}y^2\\ 2xy\end{bmatrix}$ och beräkna $\displaystyle\int_C \vec F\cdot d\vec r$ längs tre olika vägar från $(0,0)$ till $(1,1)$:

1. $C$: räta linjen $y=x$ (enklast, enligt Stephan).
2. $C$: parabeln $y=x^2$.
3. $C$: två räta linjesegment, först $(0,0)\to(0,1)$, sedan $(0,1)\to(1,1)$.

> [!example]- Väg 1 — uppställning
> Parametrisering: $x(t)=t,\ y(t)=t,\ 0\le t\le 1$, så
> $$
> \vec r(t)=\begin{bmatrix}t\\ t\end{bmatrix},\qquad \vec r{\,}'(t)=\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}.
> $$
>
> Då blir $\displaystyle\int_C \vec F\cdot d\vec r=\dots$
>
> *(Färdigräkning lämnas som övning; vägarna 2 och 3 ställs upp på samma sätt.)*

---

## 3. Oberoende av väg

Om $\vec F=\vec\nabla f$ — alltså om fältet är *konservativt* (se [[Vektorfält]]) — gäller

$$
\boxed{\;\int_C \vec\nabla f\cdot d\vec r=f\bigl(\vec r(b)\bigr)-f\bigl(\vec r(a)\bigr)\;}
$$

och integralen är **oberoende av vägen** mellan ändpunkterna. Som specialfall blir kurvintegralen längs varje sluten kurva noll.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=928|16.4 Line Integrals of Vector Fields]]

## Se även

- [[Vektorfält]]
- [[Greens sats]]
- [[Kurvintegraler]]