---
kurs:
  - F0004T
  - F0006T
  - M0066M
tags:
  - matematik
  - fysik
  - mekanik
  - kinematik
  - koordinater
förkunskaper:
  - "[[Vektorer och rörelse]]"
  - "[[Cirkelrörelse]]"
status: utkast
aliases:
  - Polar coordinates
  - Polära basvektorer
  - Polärt koordinatsystem
---

> **Kurser:** [[F0004T]], [[F0006T]], [[M0066M]]
> **Förkunskaper:** [[Vektorer och rörelse]], [[Cirkelrörelse]]

---

## 1. Position i polära koordinater

Det polära koordinatsystemet beskriver en punkt i planet med två tal: avståndet $r\ge 0$ till origo och vinkeln $\theta$ från positiva $x$-axeln, mätt moturs.

$$
\boxed{\;x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta\;}
$$

Omvänt får vi tillbaka de kartesiska koordinaterna ur

$$
r = \sqrt{x^2+y^2},\qquad \theta = \arctan\!\frac{y}{x}\ \text{(rätt kvadrant!)}.
$$

![[image_kartesisk-till-polär.png|500]]

> [!abstract] Grundtanken
> Polära koordinater är *det naturliga språket* för rörelse som har en föredragen punkt — origo. Allt som handlar om avstånd till en punkt eller vridning kring en punkt blir mycket enklare än med kartesiska $(x,y)$.

> [!warning] Singulariteten i origo
> I origo är vinkeln $\theta$ obestämd: alla värden $\theta\in[0,2\pi)$ ger samma punkt. För kartläggningar mellan polärt och kartesiskt brukar man tillåta detta som en mängd med [[Variabelbyte i dubbelintegraler|area noll]] — utanför origo är bytet bijektivt.

---

## 2. Den rörliga basen $\hat r,\hat\theta$

Varje punkt $(r,\theta)$ i planet har sin egen lokala bas: en enhetsvektor $\hat r$ som pekar *radiellt utåt* från origo, och en enhetsvektor $\hat\theta$ som pekar *transversellt* (90° moturs från $\hat r$).

$$
\boxed{\;\hat r = (\cos\theta,\sin\theta),\qquad \hat\theta = (-\sin\theta,\cos\theta)\;}
$$

![[polar-basis.png|520]]

> [!important] Den polära basen är *rörlig*
> Till skillnad från kartesiska $\hat\imath,\hat\jmath$ — som pekar likadant överallt — ändras $\hat r$ och $\hat\theta$ från punkt till punkt. Det är just denna rörlighet som ger upphov till de "extra" termerna i hastighet och acceleration nedan.

Basen är fortfarande ortonormerad i varje punkt: $\hat r\cdot\hat\theta = 0$ och $|\hat r|=|\hat\theta|=1$.

---

## 3. Hur basen ändras i tiden

Eftersom $\hat r$ och $\hat\theta$ beror på $\theta$, och $\theta$ kan bero på tiden, så ändras basvektorerna när partikeln rör sig. Deriverar man uttrycken i §2 med kedjeregeln får man

$$
\frac{d\hat r}{dt}=\dot\theta\,\hat\theta,\qquad
\frac{d\hat\theta}{dt}=-\dot\theta\,\hat r.
$$

Bilden nedan visar tanken: när partikeln rör sig från en punkt med vinkel $\theta$ till en med vinkel $\theta+d\theta$, vrids hela basen med vinkeln $d\theta$. Ändringen $d\hat r$ är en vektor *vinkelrät* mot $\hat r$ — alltså längs $\hat\theta$.

![[polar-basis-rotation.png|520]]

> [!tip] Snabb minnesregel
> Bägge derivator är "rotation med vinkelhastighet $\dot\theta$ i moturs riktning":
> - $\hat r$ vrids åt $+\hat\theta$-hållet $\;\Rightarrow\;d\hat r/dt = +\dot\theta\hat\theta$.
> - $\hat\theta$ vrids åt $-\hat r$-hållet $\;\Rightarrow\;d\hat\theta/dt = -\dot\theta\hat r$.

---

## 4. Hastighet

Positionsvektorn till en partikel kan skrivas $\vec r = r\,\hat r$. Tidsderivering med produktregeln, plus $d\hat r/dt = \dot\theta\,\hat\theta$, ger

$$
\boxed{\;\vec v = \dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta\;}
$$

| Term | Namn | Tolkning |
|---|---|---|
| $\dot r$ | radiell hastighet | hur snabbt avståndet till origo ändras |
| $r\dot\theta$ | transversell hastighet | hur snabbt partikeln "svänger runt" origo |

> [!note] Båglängdsperspektivet
> Faktorn $r$ i $r\dot\theta$ kommer av att en liten vinkeländring $d\theta$ vid avstånd $r$ svarar mot båglängden $r\,d\theta$. Vid större $r$ ger samma vinkelhastighet en större tangentiell fart — precis som ett barn längst ut på en karusell rör sig fortare än ett som sitter nära mitten.

---

## 5. Acceleration

Deriverar man $\vec v = \dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta$ en gång till — och håller koll på att även $\hat r$ och $\hat\theta$ deriveras — får man

$$
\boxed{\;\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^{\,2})\,\hat r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat\theta\;}
$$

![[polar-acceleration-decomposition.png|560]]

Komponentvis:

$$
a_r = \ddot r - r\dot\theta^{\,2},\qquad a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta.
$$

> [!important] De fyra termerna och vad de betyder
>
> | Term | Namn | Vad den fångar |
> |---|---|---|
> | $\ddot r$ | ren radiell acceleration | partikelns avstånd till origo accelererar |
> | $-r\dot\theta^{\,2}$ | **centripetalterm** | krökning av banan; pekar *inåt* (negativt $\hat r$) |
> | $r\ddot\theta$ | tangentiell vinkelacceleration | rotationen kring origo snabbas på/bromsas |
> | $2\dot r\dot\theta$ | **Coriolisterm** | uppstår när både $r$ och $\theta$ ändras samtidigt |

> [!tip] Specialfall: likformig cirkelrörelse
> Sätt $r = R$ (konstant), så $\dot r = \ddot r = 0$, och $\dot\theta = \omega$ (konstant), så $\ddot\theta = 0$. Då blir
>
> $$
> \vec a = -R\omega^2\,\hat r \quad\Longrightarrow\quad |\vec a| = \frac{v^2}{R},
> $$
>
> där vi använt $v = R\omega$. Detta är precis [[Cirkelrörelse|centripetalaccelerationen]] — minustecknet säger att den pekar *in mot* origo. Bra sanity-check: kinematiken i polära koordinater måste ge samma svar som specialfallet.

---

## 6. Räkneexempel: bilen på en rak väg

Det enda stället polära koordinater dyker upp i [[F0006T]]-proven är **polisradar-problemet**. Det finns i två sifferversioner men löses *exakt* likadant, och hela lösningen vilar på en enda mening i uppgiften: bilen kör på en **rak väg**. Utan den meningen är problemet olösbart; med den blir det rättframt. Läs därför hela det här avsnittet som en enda lång motivering av *varför* man får göra det man gör — räkningen i exemplen är sedan bara att fylla i siffror.

> [!warning] Mätvärdena räcker inte i sig — det är därför vägen måste vara rak
> Radarn rapporterar bara **fyra** kinematiska tal: $r,\ \theta,\ \dot\theta$ och $\ddot r$ (plus massan $m$). Men accelerationsformeln
> $$
> \vec a = (\ddot r - r\dot\theta^{\,2})\,\hat r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat\theta
> $$
> innehåller *även* $\dot r$ och $\ddot\theta$ — två storheter vi inte fått. Att bara sätta dem till noll vore att hitta på fysik och ger fel svar. Det som räddar oss är att **banan är känd**: en rak linje. En känd bana binder ihop $r$ och $\theta$, och därmed också alla deras derivator. Det är den bindningen som levererar de två saknade talen.

> [!abstract] Den bärande idén: en känd bana är ett *tvång*, och ett tvång får deriveras
> Jämför en fri partikel med en pärla trädd på en ståltråd. Den fria partikeln kan ha vilken kombination som helst av de sex talen $r,\dot r,\ddot r,\theta,\dot\theta,\ddot\theta$ — de är oberoende. Pärlan på tråden är låst: så fort vi vet *var* på tråden den är (säg vinkeln $\theta$) är $r$ bestämt; då är $\dot r$ låst till $\dot\theta$, och $\ddot r$ låst till $\dot\theta$ och $\ddot\theta$. Bilen på den raka vägen *är* pärlan, och vägen är tråden. Vi skriver tråden som en ekvation som gäller **vid varje ögonblick bilen rullar** — och just därför får vi derivera den i tiden: en likhet som alltid är sann har en tidsderivata som också alltid är sann. Varje derivering knyter ihop en ny derivata, och så fyller vi luckorna $\dot r$ och $\ddot\theta$.

### 6.1 Trådens ekvation: $r\sin\theta = d$

Polisradarn står inte *på* vägen utan vid sidan av den, på det vinkelräta avståndet $d$ till vägbanan. Det avståndet ändras aldrig — radarn flyttar sig inte och vägen är rak. Det är hela tvånget, och vi läser av det direkt ur figuren.

![[polar-polisradar-rakvag.png|540]]

Titta på den rätvinkliga triangeln: radarn i ett hörn, bilen i ett annat, och fotpunkten (där det vinkelräta avståndet möter vägen) i det tredje. Hypotenusan är synlinjen $r$, och $\theta$ är vinkeln mellan synlinjen och själva vägen. Kateten som står vinkelrät mot vägen är då $r\sin\theta$ — men den kateten *är* per definition det vinkelräta avståndet till vägen. Alltså:

$$
\boxed{\;d = r\sin\theta = \text{konstant}\;}
$$

Lägg märke till vad $\theta$ betyder här: vinkeln mäts **från vägens riktning**. När bilen är långt borta löper synlinjen nästan parallellt med vägen och $\theta$ är litet; när bilen är rakt för om radarn (närmaste punkten) är synlinjen vinkelrät mot vägen och $\theta = 90^\circ$; när bilen sedan avlägsnar sig minskar $\theta$ igen.

> [!important] Allt som följer ärver antagandet "rak väg"
> Det är *enbart* för att vägen är rak som $r\sin\theta$ är **samma tal** vid alla tidpunkter. Vore vägen krökt skulle det vinkelräta avståndet till radarn variera, högerledet vore inte längre en konstant, och derivatorna nedan skulle få extra okända termer — då går problemet inte att lösa med enbart radarns fyra tal. Varje steg i §6.1 och i båda exemplen lutar sig mot denna enda förutsättning. Stryk "rak väg" och hela metoden faller.

**Steg 1 — derivera tråden en gång; det ger $\dot r$.** En storhet som är konstant i tiden har tidsderivatan noll. Derivera vänsterledet $r\sin\theta$ med produktregeln (både $r$ och $\theta$ beror på tiden):

$$
\frac{d}{dt}\big(r\sin\theta\big) = \dot r\sin\theta + r\cos\theta\,\dot\theta = 0.
$$

Detta är inte en formel att memorera utan ett *villkor* med en fin tolkning: de två sätten avståndet till vägen kan ändras på — genom att $r$ växer (ger $\dot r\sin\theta$) eller genom att vinkeln vrids (ger $r\cos\theta\,\dot\theta$) — tar alltid ut varandra exakt, så att summan blir noll och bilen aldrig lämnar vägen. Löser vi ut den radiella farten:

$$
\boxed{\;\dot r = -r\dot\theta\cot\theta\;}
$$

Den okända $\dot r$ är nu *uttryckt i* de mätta talen $r,\theta,\dot\theta$. Det är rak-väg-antagandets första utdelning: en av luckorna är fylld utan att vi behövt mer mätdata.

**Steg 2 — derivera tråden en gång till; det ger $\ddot\theta$.** Villkoret $\dot r\sin\theta + r\cos\theta\,\dot\theta = 0$ är också sant vid varje tidpunkt, så även *det* får deriveras i tiden. Produktregeln på var och en av de två termerna:

$$
\underbrace{\ddot r\sin\theta + \dot r\cos\theta\,\dot\theta}_{\frac{d}{dt}\left(\dot r\sin\theta\right)}
\;+\;
\underbrace{\dot r\cos\theta\,\dot\theta - r\sin\theta\,\dot\theta^{\,2} + r\cos\theta\,\ddot\theta}_{\frac{d}{dt}\left(r\cos\theta\,\dot\theta\right)} = 0.
$$

De två likadana $\dot r\cos\theta\,\dot\theta$-termerna slås ihop till en faktor $2$ (samma struktur som Coriolistermen längre upp — det är ingen slump, det är produktregeln på ett blandat $r\theta$-uttryck):

$$
\ddot r\sin\theta + 2\dot r\dot\theta\cos\theta - r\dot\theta^{\,2}\sin\theta + r\ddot\theta\cos\theta = 0.
$$

Nu är $\ddot\theta$ den **enda** obekanta kvar: $r,\theta,\dot\theta,\ddot r$ är mätta och $\dot r$ kom från steg 1. Lös ut den:

$$
\boxed{\;\ddot\theta = \frac{r\dot\theta^{\,2}\sin\theta - 2\dot r\dot\theta\cos\theta - \ddot r\sin\theta}{r\cos\theta}\;}
$$

Därmed har vi *alla sex* polära storheter. Notera särskilt att $\ddot\theta$ i allmänhet **inte** är noll — den raka vägen tvingar fram en bestämd vridningsacceleration kring radarn, och just därför är det ett fel att slentrianmässigt anta $\ddot\theta = 0$.

**Steg 3 — nu, och först nu, accelerationsformeln.** Poängen med steg 1–2 var att fylla luckorna $\dot r$ och $\ddot\theta$. Med dem på plats är resten ren insättning i den vanliga polära kinematiken, följt av Newtons andra lag:

$$
a_r = \ddot r - r\dot\theta^{\,2},\qquad
a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta,\qquad
|\vec a| = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2},\qquad
|\vec F| = m|\vec a|.
$$

> [!tip] En oberoende sluttest: accelerationen ligger längs vägen
> Eftersom en rak väg har krökning noll får varken hastigheten eller accelerationen någon komponent *vinkelrät* mot vägen — båda vektorerna pekar längs vägbanan. Det ger en gratis kontroll: räknar man om $\vec v$ och $\vec a$ till $xy$-komponenter ska de bli parallella. Är de det vet man att steg 1–2 är rätt; är de det inte har tvånget hanterats fel. Detta är samma fysik som $r\sin\theta=$ konstant, sedd från andra hållet.

---

> [!example]- Exempel 1 — Polisradar (F0006T, tenta 2022-03-27 / 2025-06-04)
> En bil kör förbi en polisradar på en **rak väg**. Vid en viss tidpunkt mäter radarn
>
> $$
> r = 59{,}33\ \text{m},\quad \theta = 43{,}81^\circ,\quad \dot\theta = -0{,}220\ \text{rad/s},\quad \ddot r = 5{,}500\ \text{m/s}^2.
> $$
>
> Beräkna beloppet av nettokraften på bilen om dess massa är $m = 845\ \text{kg}$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Innan vi rör en siffra: vad gör problemet lösbart?** Radarn ger oss $r,\theta,\dot\theta,\ddot r$ — men $\vec a$ behöver också $\dot r$ och $\ddot\theta$. De två saknade talen kommer *uteslutande* från att vägen är rak, via tvånget $r\sin\theta = d = \text{konstant}$ (§6.1). Vi följer därför de tre stegen därifrån. Varenda rad nedan förutsätter den raka vägen; vore vägen krökt skulle uppgiften sakna entydigt svar.
> >
> > **Förberedelse — trigvärden vid $\theta = 43{,}81^\circ$.** $\sin\theta = 0{,}6925$, $\cos\theta = 0{,}7214$, och $\cot\theta = \cos\theta/\sin\theta = 1{,}0416$. Dessa tre dyker upp i varje steg, så vi beräknar dem en gång.
> >
> > **Steg 1 — radiell fart ur $\dot r = -r\dot\theta\cot\theta$.** Detta är första derivatan av tvånget, utlöst för $\dot r$:
> > $$
> > \dot r = -r\dot\theta\cot\theta = -59{,}33\cdot(-0{,}220)\cdot 1{,}0416 = +13{,}60\ \text{m/s}.
> > $$
> > Tecknet bär fysik. $\dot r > 0$ betyder att avståndet till radarn *växer*: bilen har redan passerat sin närmaste punkt och kör nu därifrån. Det rimmar med att $\dot\theta < 0$ — vinkeln mot vägen krymper tillbaka mot noll allteftersom bilen avlägsnar sig. Hade vi (felaktigt) antagit $\dot r = 0$ hade vi påstått att bilen inte närmar sig eller fjärmar sig radarn alls, vilket är orimligt mitt under en passage.
> >
> > **Steg 2 — vinkelacceleration ur andra derivatan av tvånget.** Vi behöver centripetalfaktorn $r\dot\theta^{\,2} = 59{,}33\cdot(0{,}220)^2 = 2{,}872$. Sätt in $r,\theta,\dot\theta,\dot r,\ddot r$ i den utlösta formeln för $\ddot\theta$, term för term:
> > $$
> > \ddot\theta = \frac{\overbrace{2{,}872\cdot 0{,}6925}^{=\,1{,}989} \;-\; \overbrace{2\cdot 13{,}60\cdot(-0{,}220)\cdot 0{,}7214}^{=\,-4{,}315} \;-\; \overbrace{5{,}500\cdot 0{,}6925}^{=\,3{,}809}}{\underbrace{59{,}33\cdot 0{,}7214}_{=\,42{,}80}}
> > = \frac{1{,}989 + 4{,}315 - 3{,}809}{42{,}80} = \frac{2{,}495}{42{,}80} = 0{,}0583\ \text{rad/s}^2.
> > $$
> > (Mittersta termen byter tecken: ett minus framför ett negativt tal blir plus.) Att $\ddot\theta \neq 0$ är inte ett fel utan precis vad den raka vägen *kräver* — bilen måste vrida sig kring radarn i en bestämd takt för att hålla sig på linjen. Detta är talet den naiva lösningen slarvar bort genom att gissa $\ddot\theta = 0$.
> >
> > **Steg 3 — sätt ihop accelerationen.** Nu finns alla sex storheter, så vi använder den vanliga polära formeln:
> > $$
> > a_r = \ddot r - r\dot\theta^{\,2} = 5{,}500 - 2{,}872 = 2{,}628\ \text{m/s}^2,
> > $$
> > $$
> > a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 59{,}33\cdot 0{,}0583 + 2\cdot 13{,}60\cdot(-0{,}220) = 3{,}459 - 5{,}982 = -2{,}524\ \text{m/s}^2.
> > $$
> > Radiellt bidrar både den rena $\ddot r$ och centripetaltermen $-r\dot\theta^{\,2}$ (som drar inåt). Transversellt dominerar Coriolistermen $2\dot r\dot\theta$ — den är stor just för att bilen samtidigt har stor radiell fart (steg 1) och vrider sig (stor $\dot\theta$).
> >
> > **Belopp och kraft.** $\hat r$ och $\hat\theta$ är vinkelräta, så beloppet ges av Pythagoras — *inte* av summan av komponenterna:
> > $$
> > |\vec a| = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2} = \sqrt{2{,}628^2 + 2{,}524^2} = \sqrt{6{,}91 + 6{,}37} \approx 3{,}644\ \text{m/s}^2,
> > $$
> > $$
> > |\vec F| = m|\vec a| = 845\cdot 3{,}644 \approx \boxed{3{,}08\ \text{kN}}.
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll via farten.** Det bästa testet på att vi inte tappat en faktor är att räkna ut bilens fart. Med $\dot r = 13{,}60$ och $r\dot\theta = 59{,}33\cdot(-0{,}220) = -13{,}05$:
> > $$
> > v = \sqrt{\dot r^2 + (r\dot\theta)^2} = \sqrt{13{,}60^2 + 13{,}05^2} \approx 18{,}9\ \text{m/s} \approx 68\ \text{km/h}.
> > $$
> > En fullt normal vägfart. Att $|\dot r| \approx |r\dot\theta|$ betyder dessutom att farten är jämnt fördelad mellan radiell och transversell led — precis vad man väntar sig när synlinjen lutar ungefär $44^\circ$ mot vägen och hela rörelsen ändå sker *längs* vägen.

> [!example]- Exempel 2 — Polisradar med andra siffror (F0006T 2024-08-27 / 2025-08-26)
> Samma raka väg, nya mätvärden:
>
> $$
> r = 59{,}9\ \text{m},\quad \theta = 43{,}8^\circ,\quad \dot\theta = -0{,}200\ \text{rad/s},\quad \ddot r = 5{,}300\ \text{m/s}^2,\quad m = 835\ \text{kg}.
> $$
>
> > [!note]- Lösning
> > Samma raka väg, samma tre steg. Eftersom *varför*-frågan redan är besvarad i §6.1 och i Exempel 1 går vi här något snabbare genom räkningen — men varje siffra kommer fortfarande ur exakt samma tvång $r\sin\theta = d = \text{konstant}$. Tar man bort den raka vägen försvinner $\dot r$ och $\ddot\theta$, och uppgiften blir olösbar.
> >
> > **Förberedelse — trigvärden vid $\theta = 43{,}8^\circ$.** $\sin\theta = 0{,}6921$, $\cos\theta = 0{,}7218$, $\cot\theta = 1{,}0428$.
> >
> > **Steg 1 — radiell fart (första derivatan av tvånget).**
> > $$
> > \dot r = -r\dot\theta\cot\theta = -59{,}9\cdot(-0{,}200)\cdot 1{,}0428 = +12{,}49\ \text{m/s}.
> > $$
> > Återigen $\dot r > 0$: bilen har passerat och avlägsnar sig.
> >
> > **Steg 2 — vinkelacceleration (andra derivatan av tvånget).** Med $r\dot\theta^{\,2} = 59{,}9\cdot(0{,}200)^2 = 2{,}396$:
> > $$
> > \ddot\theta = \frac{2{,}396\cdot 0{,}6921 - 2\cdot 12{,}49\cdot(-0{,}200)\cdot 0{,}7218 - 5{,}300\cdot 0{,}6921}{59{,}9\cdot 0{,}7218}
> > = \frac{1{,}656 + 3{,}607 - 3{,}668}{43{,}23} = 0{,}0369\ \text{rad/s}^2.
> > $$
> >
> > **Steg 3 — komponenter, belopp, kraft.**
> > $$
> > a_r = \ddot r - r\dot\theta^{\,2} = 5{,}300 - 2{,}396 = 2{,}904\ \text{m/s}^2,
> > $$
> > $$
> > a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 59{,}9\cdot 0{,}0369 + 2\cdot 12{,}49\cdot(-0{,}200) = 2{,}210 - 4{,}997 = -2{,}787\ \text{m/s}^2,
> > $$
> > $$
> > |\vec a| = \sqrt{2{,}904^2 + 2{,}787^2} = \sqrt{8{,}43 + 7{,}77} = \sqrt{16{,}20} \approx 4{,}025\ \text{m/s}^2,
> > $$
> > $$
> > |\vec F| = m|\vec a| = 835\cdot 4{,}025 \approx \boxed{3{,}36\ \text{kN}}.
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** $v = \sqrt{\dot r^2 + (r\dot\theta)^2} = \sqrt{12{,}49^2 + 11{,}98^2} \approx 17{,}3\ \text{m/s} \approx 62\ \text{km/h}$ — återigen en rimlig vägfart, vilket bekräftar räkningen.

> [!important] Sammanfattning: vad antagandet "rak väg" gör för oss
> Båda tentauppgifterna ser ut som rena insättningsproblem, men radarn ger bara fyra kinematiska tal medan accelerationen behöver sex. Det är den raka vägen — och *bara* den — som fyller gapet:
> 1. Rak väg $\Rightarrow$ det vinkelräta avståndet $r\sin\theta = d$ är konstant i tiden.
> 2. Derivera en gång $\Rightarrow$ $\dot r$ (annars okänd).
> 3. Derivera två gånger $\Rightarrow$ $\ddot\theta$ (annars okänd; i synnerhet *inte* noll).
> 4. Först därefter $\vec a$ i polära koordinater, sedan $\vec F = m\vec a$.
>
> Det vanliga, naiva felet är att hoppa direkt till steg 4 och gissa $\dot r$ och $\ddot\theta$. Då försvinner hela fysiken i problemet, och svaret blir bara rätt av en slump om gissningen råkar matcha tvånget. Lär dig kedjan "rak väg $\to$ derivera tvånget $\to$ accelerationsformeln", inte siffrorna.

> [!warning] Vanliga fallgropar
> - **Hittat på $\dot r$ eller satt $\ddot\theta = 0$.** Mätvärdena innehåller inte $\dot r$ och $\ddot\theta$ — de *måste* räknas fram ur rak-väg-villkoret. Att gissa $\ddot\theta=0$ är fysikaliskt fel: en rak väg tvingar fram en bestämd $\ddot\theta\neq 0$.
> - **Glömt centripetaltermen $-r\dot\theta^{\,2}$.** Att skriva $a_r = \ddot r$ stämmer bara om bilen inte vrider sig kring radarn.
> - **Glömt Coriolistermen $2\dot r\dot\theta$.** Faktorn $2$ kommer från produktregeln i derivationen.
> - **Räknat $|\vec a| = |a_r| + |a_\theta|$.** Komponenterna är ortogonala — det är *Pythagoras* som gäller: $|\vec a| = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2}$.

---

## 7. Sammanfattning

| Storhet | Uttryck i polära koordinater |
|---|---|
| Position $\vec r$ | $r\,\hat r$ |
| Hastighet $\vec v$ | $\dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta$ |
| Acceleration $\vec a$ | $(\ddot r - r\dot\theta^{\,2})\,\hat r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat\theta$ |
| Basvektorernas tidsderivator | $\dfrac{d\hat r}{dt}=\dot\theta\,\hat\theta,\quad \dfrac{d\hat\theta}{dt}=-\dot\theta\,\hat r$ |

> [!important] Metodikchecklista
> När en uppgift ger mätvärden i polära koordinater:
> 1. **Räkna mätvärdena.** Får du alla sex storheter $(r,\dot r,\ddot r,\theta,\dot\theta,\ddot\theta)$? Om någon saknas finns ett **tvångsvillkor** (t.ex. rak väg, $r\sin\theta=\text{konst}$) som ska deriveras för att få de saknade derivatorna — gissa aldrig.
> 2. **Sätt upp formeln** för $\vec v$ eller $\vec a$ symboliskt först — så ser man vilka mätvärden som behövs.
> 3. **Beräkna $a_r$ och $a_\theta$** komponentvis. Var noga med teckenkonventioner: $\dot r<0$ betyder att partikeln närmar sig origo, $\dot\theta<0$ betyder vridning medurs.
> 4. **Ortogonalt belopp:** $|\vec a| = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2}$.
> 5. **Newton avslutar:** $|\vec F| = m|\vec a|$.
> 6. **Sanity-check** mot specialfall (cirkelrörelse, ren radiell rörelse) eller via farten $v=\sqrt{\dot r^2+(r\dot\theta)^2}$.

---

## Läsning

- [[Kompendium i mekanik.pdf#page=21|M2 Polära koordinater]] — F0006T:s primära kursunderlag (Lehto)
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=509|8.5 Polar Coordinates and Polar Curves]] — grundläggande geometrisk introduktion (Adams)
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=708|12.6 Polar Components of Velocity and Acceleration]] — härledning av samma formler i kalkylböckernas språk
- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=96|3 Motion in Two or Three Dimensions]] — Young & Freedman om allmän 2D-kinematik

## Se även

- [[Cirkelrörelse]] — specialfall där $r$ är konstant
- [[Vektorer och rörelse]] — kartesiska motsvarigheter till samma kinematik
- [[Variabelbyte i dubbelintegraler]] — polära koordinater som integrationsverktyg ($dA = r\,dr\,d\theta$)
- [[Polär form för komplexa tal]] — samma koordinater, andra tillämpning

## Resurser

- [Khan Academy: Polar coordinates](https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:vectors/x9e81a4f98389efdf:polar/v/polar-coordinates-1) — kort introduktion
- [Wikipedia: Polar coordinate system](https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system)
- [MIT OCW 8.01 — Lecture on motion in 2D](https://ocw.mit.edu/courses/8-01sc-classical-mechanics-fall-2016/) — kompletterande genomgång av vektorkinematik