---
kurs:
  - F0006T
tags:
  - fysik
  - mekanik
  - rotation
förkunskaper:
  - "[[Rotation]]"
  - "[[Kryssprodukt]]"
status: utkast
aliases:
  - Angular momentum
  - L
---
> **Kurs:** F0006T
> **Förkunskaper:** [[Rotation]], [[Kryssprodukt]]

---

## 1. Definition

För en partikel:

$$
\boxed{\vec L = \vec r \times \vec p = \vec r \times m\vec v, \qquad |\vec L| = |\vec r|\,|\vec p|\sin\theta}
$$

Om rörelsen är radiell mot rotationscentrum är $\sin\theta = 0$, alltså $\vec L = \vec 0$.

> [!note]- Bild — partikels rörelsemängdsmoment
> ![[Pasted image 20260504150151.png|250]]

För en stel kropp som roterar kring en fix axel:

$$
L = I\omega
$$

---

## 2. Stel kropp — härledning

Rörelsemängdsmoment för massbit $m_i$:

$$\vec{L}_i = \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \vec{r}_i \times m_i\vec{v}_{it}$$

$$L_{iz} = r_i m_i v_{it} = r_i m_i(r_i\omega) = m_i r_i^2\,\omega$$

$$L_z = \sum L_{iz} = \left(\sum m_i r_i^2\right)\omega = I\,\omega$$

> [!note]- Bild — stel kropp
> ![[Pasted image 20260504151427.png|250]]

> [!note]- Intuitiv förklaring — varför är rörelsemängdsmomentet en vektor?
> Videon nedan visar hur rörelsemängdsmomentet har en bestämd riktning.
> ![](https://www.youtube.com/watch?v=5cRb0xvPJ2M)

---

## 3. Bevarande av rörelsemängdsmoment

$$
\vec\tau = \frac{d\vec L}{dt}, \qquad \vec\tau = \vec 0 \Rightarrow \vec L = \text{konst.}
$$

Vid rotation kring symmetriaxeln $z$:

- $\vec{\tau} = \vec 0 \implies I_{z_1}\,\omega_1 = I_{z_2}\,\omega_2$
- $\vec{F} = \vec 0 \implies m_1\vec v_1 = m_2\vec v_2$

Klassiskt exempel: pirouetten — armarna inåt minskar $I$, alltså ökar $\omega$.

Impulsmomentlagen (Fysika **TB7b**):

$$\int \tau_z\,dt = L_{z_2} - L_{z_1} = I_{z_2}\,\omega_2 - I_{z_1}\,\omega_1$$

> [!tip] Storheter
> | Storhet | Beteckning | Enhet |
> |---|---|---|
> | Rörelsemängdsmoment | $\vec{L}$ | kg·m²/s |
> | Ortvektor (från axeln) | $\vec{r}$ | m |
> | Rörelsemängd | $\vec{p}$ | kg·m/s |
> | Massa | $m$ | kg |
> | Hastighet | $\vec{v}$ | m/s |
> | Tröghetsmoment | $I$ | kg·m² |
> | Vinkelhastighet | $\omega$ | rad/s |
> | Tangentiell hastighet | $v_{it}$ | m/s |
> | Kraftmoment | $\vec{\tau}$ | N·m |
> | Impulsmoment | $\int \tau_z\,dt$ | kg·m²/s |

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=346|10.5 Angular Momentum]]
- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=349|10.6 Conservation of Angular Momentum]]

## Se även

- [[Rotation]]
- [[Rotationsmekanik]]
- [[Kraftmoment och jämvikt]]
- [[Momentekvationen]]