---
kurs:
  - M0068M
tags:
  - matematik
  - flervariabelanalys
  - koordinater
förkunskaper:
  - "[[Cylindriska koordinater]]"
  - "[[Polära koordinater]]"
status: utkast
aliases:
  - Sfäriska koordinater
  - Spherical coordinates
---

> **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Cylindriska koordinater]], [[Polära koordinater]]

---

## 1. Definition

Sfäriska koordinater parametriserar en rumspunkt med radien $R$ från origo, polarvinkeln $\phi$ (från positiva $z$-axeln) och azimutvinkeln $\theta$ (i $xy$-planet):

$$
\boxed{\begin{cases}
x = R\sin\phi\cos\theta \\
y = R\sin\phi\sin\theta \\
z = R\cos\phi
\end{cases}}
$$

där $R \geq 0$, $\phi \in [0, \pi]$ och $\theta \in [0, 2\pi)$.

![[sfarisk-koord.png|520]]

---

## 2. Samband med cylindriska koordinater

Cylinderradien $r = \sqrt{x^2 + y^2} = R\sin\phi$, vilket ger sambanden:

- $R^2 = x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2$
- $\tan\phi = \dfrac{r}{z} = \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}$
- $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$

---

## 3. Volymselementet

Vid variabelbyte till sfäriska koordinater är [[Variabelbyte i trippelintegraler|Jacobianen]] $R^2\sin\phi$, och volymselementet blir

$$
\boxed{dV = R^2\sin\phi\,dR\,d\phi\,d\theta}
$$

---

## 4. Exempel

> [!example]- Volym av sfärisk kupa
> Låt $D = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq \sqrt{4-x^2-y^2}\}$.
>
> Hitta $\operatorname{Vol}(D)$.
>
> ![[Pasted image 20260505132037.png|400]]
>
> Området begränsas nedtill av konen ($\phi = \pi/4$) och upptill av halvsfären med $R = 2$:
>
> - $0 \leq \theta \leq 2\pi$
> - $0 \leq R \leq 2$
> - $0 \leq \phi \leq \dfrac{\pi}{4}$
>
> $$
> \operatorname{Vol}(D) = \int_0^{\pi/4}\int_0^{2}\int_0^{2\pi} R^2\sin\phi\,d\theta\,dR\,d\phi
> $$

> [!example]- Trippelintegral med symmetriargument (ofullständig)
> Beräkna $\displaystyle\iiint_D (x^2 - 2xy + y^2 + z^2)\,dV$.
>
> Termen $-2xy$ är *udda* i $x$-led (och i $y$-led), så om $D$ är symmetriskt kring något av dessa plan bidrar den med $0$ till integralen.
>
> $$
> \iiint_D R^2 \cdot R\sin\phi\,d\theta\,d\phi\,dR
> $$
>
> $$
> \int_0^{1} R^4\left(\int_0^{\pi/2}\left(\int_0^{\pi}\sin\phi\,d\theta\right)d\phi\right)dR
> $$
>
> Det går att lösa denna genom att lösa den som en vanlig

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=627&annotation=6135R|Sfäriska koordinater]]

## Se även

- [[Cylindriska koordinater]]
- [[Variabelbyte i trippelintegraler]]
- [[Trippelintegraler]]
- [[Polära koordinater]]

## Resurser

- [Animation av sfäriska koordinater](https://www.youtube.com/watch?v=Ex_g2w4E5lQ)
- [Wikipedia: Spherical coordinate system](https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system)