---
kurs:
  - F0004T
  - F0006T
tags:
  - fysik
  - mekanik
  - svängning
förkunskaper:
  - "[[Newtons lagar]]"
  - "[[Differentialekvationer]]"
status: utkast
aliases:
  - Harmonisk svängning
  - SHM
---
> **Kurser:** F0004T, F0006T
> **Förkunskaper:** [[Newtons lagar]], [[Differentialekvationer]]

---

## 1. Harmonisk oscillator

Återställande kraft proportionell mot utslaget: $F = -kx$. Newton ger

$$
m\ddot x + kx = 0 \implies \ddot x + \omega_0^2 x = 0, \quad \omega_0 = \sqrt{k/m}
$$

Lösning:

$$
\boxed{x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)}
$$

Period $T = 2\pi/\omega_0$, frekvens $f = 1/T$.

---

## 2. Dämpad svängning

När en kraft dämpar svängningen:

$$
m\ddot x + b\dot x + kx = 0
$$

$$\ddot{x} + \underbrace{2\gamma}_{\text{dämpning}}\dot x + \omega_0^2 x = 0, \quad \gamma = \dfrac{b}{2m}$$

![[svangning.png|780]]

Tre fall beroende på rötterna till den karakteristiska ekvationen:

### 2.1 Underdämpad ($\gamma < \omega_0$)

$$x = Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_e t + \phi)$$

$$K_d = Ke^{2\gamma t}$$

### 2.2 Kritiskt dämpad ($\gamma = \omega_0$)

$$x = e^{-\gamma t}(A_1 + A_2 t)$$

### 2.3 Överdämpad ($\gamma > \omega_0$)

$$x = e^{-\gamma t}(A_1 e^{\omega_e t} + A_2 e^{-\omega_e t})$$

### 2.4 Energi vid dämpad svängning

$$\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{m}{2}(2v\dot{v}) + \dfrac{k}{2}(2x\dot{x}) = mva + kxv = v(ma + kx) = v(-b\dot{x}) = -bv^2$$

- $b$ är dämpningskonstanten; $\dfrac{dE}{dt} \leq 0$ — energin avtar alltid.

---

## 3. Tvungen svängning

$$
m\ddot x + b\dot x + kx = F_0\cos(\omega_d t)
$$

Ger resonans när $\omega_d \approx \omega_0$. Amplituden:

$$A = \dfrac{F_0}{\sqrt{(\omega^2 - \omega_d^2)^2 + (2\gamma\,\omega_d)^2}}$$

Maximal amplitud vid resonansfrekvensen $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$.

---

## 4. Partikel- och fysikpendel

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=459|Chapter 14 Periodic Motion]]

## Se även

- [[Differentialekvationer]]
- [[Homogena linjära differentialekvationer]]
- [[Cirkelrörelse]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: Resonance](https://youtu.be/MkmkM9s_bmw)