--- kurs: - M0068M tags: - matematik - flervariabelanalys - vektoranalys förkunskaper: - "[[Funktioner av flera variabler]]" status: utkast aliases: - Vektorfält - Vector field - Konservativt fält - Skalär potential --- > **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Funktioner av flera variabler]] --- ## 1. Idén bakom ett vektorfält En vanlig funktion $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ ger ett *tal* i varje punkt — ett skalärfält. Ett vektorfält gör samma sak, men ger en *vektor* i varje punkt. > [!abstract] Grundtanken > Föreställ dig en vätska i rörelse: i varje punkt har vattnet en hastighetsvektor. Det är ett vektorfält. På samma sätt har gravitationen, elektriska fält och magnetfält en *riktning och styrka* i varje punkt — alla är vektorfält. ![[stokes_porous_vel.png|420]] *Hastighetsfält i poröst medium.* --- ## 2. Definition Ett **vektorfält** är en avbildning som tilldelar varje punkt i rummet en vektor: $$ \vec F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\qquad \vec F(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr), $$ eller i 3D $$ \vec F(x,y,z)=\bigl(P(x,y,z),\,Q(x,y,z),\,R(x,y,z)\bigr). $$ > [!note] Notation > Vi skriver $\vec F=P\,\hat i+Q\,\hat j+R\,\hat k$ eller $\vec F=(P,Q,R)$ omväxlande. Komponenterna $P,Q,R$ är vanliga skalärfunktioner. > [!example]- Exempel — fältet $\vec F(x,y)=-y\,\hat i+x\,\hat j$ > $$ > \vec F=\begin{bmatrix}-y\\ x\end{bmatrix}. > $$ > > För att veta vart en "partikel" i $(1,0)$ skulle röra sig stoppar man bara in punkten: > > $$ > \vec F(1,0)=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}. > $$ > > Vektorn pekar uppåt. Räknar man fler punkter syns att fältet roterar motsols kring origo med växande styrka mot kanten. ### Typiska exempelfält - Hastighetsfält i en vätska. - Kraftfält ([[Gravitation|gravitation]], elektriskt). - [[Gradient och riktningsderivata|Gradienten]] $\nabla f$ av en skalärfunktion. --- ## 3. Integralkurvor — kurva som följer fältet En naturlig fråga är: vilken kurva $\vec r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ har $\vec F$ som tangent i varje punkt? Vi kräver $$ \vec r{\,}'(t)=\lambda(t)\,\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr). $$ Med $\vec F=(F_1,F_2)$ ger detta $$ \frac{dx}{dt}=\lambda F_1,\qquad \frac{dy}{dt}=\lambda F_2, $$ och genom att dela ekvationerna elimineras parametern: $$ \frac{dy}{dx}=\frac{F_2}{F_1}\quad\Longleftrightarrow\quad \int F_1\,dy=\int F_2\,dx. $$ För exemplet $\vec F=-y\,\hat i+x\,\hat j$ ger detta cirkulära flödeslinjer kring origo (radien bevaras), vilket stämmer med bilden av en stelkroppsrotation. ![[Falt.png|420]] *Vektorfält med synliga flödeslinjer.* --- ## 4. Konservativa fält och skalär potential > [!important] Definition > $\vec F$ kallas **konservativt** om det finns en skalärfunktion $\phi$ — en *potential* — så att > $$ > \vec F=\vec\nabla\phi. > $$ > $\phi$ är en sorts "primitiv" till $\vec F$; den bestäms upp till en konstant. ### Konsekvens — vägoberoende För ett konservativt fält gäller $$ \int_C \vec F\cdot d\vec r=\phi\bigl(\vec r(b)\bigr)-\phi\bigl(\vec r(a)\bigr), $$ dvs. [[Kurvintegraler av vektorfält|kurvintegralen]] beror bara på *ändpunkterna*, inte på vägen. Som specialfall blir $\oint_C \vec F\cdot d\vec r=0$ längs varje sluten kurva. > [!example]- Exempel — hitta potential till $\vec F=(y,x,z^2)$ > Vi söker $\phi$ så att $\vec\nabla\phi=\vec F=\begin{bmatrix}y\\ x\\ z^2\end{bmatrix}$. Det ger systemet > > $$ > \begin{aligned} > \tfrac{\partial\phi}{\partial x}&=y &&\Longrightarrow&&\phi=xy+C(y,z),\\ > \tfrac{\partial\phi}{\partial y}&=x &&\Longrightarrow&&\phi=xy+D(x,z),\\ > \tfrac{\partial\phi}{\partial z}&=z^2 &&\Longrightarrow&&\phi=\tfrac{1}{3}z^3+E(x,y). > \end{aligned} > $$ > > Sammanfogning ger > > $$ > \boxed{\,\phi=xy+\tfrac{1}{3}z^3\,}\;(+\,\text{konstant}). > $$ > > Konstanten i första raden skrivs $C(y,z)$ eftersom den får bero på de variabler som inte deriverats; dessa beroenden hittas när de övriga ekvationerna används. > > **Kontroll:** $\vec\nabla\phi=\bigl(y,\,x,\,z^2\bigr)=\vec F$. Stämmer. --- ## 5. Test för konservativitet För ett 2D-fält $\vec F=F_1\,\hat i+F_2\,\hat j$ med $\vec F=\vec\nabla\phi$ måste blandade andraderivator av $\phi$ stämma: $$ \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y\,\partial x}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x\,\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}. $$ > [!important] Nödvändigt villkor > $$ > \boxed{\;\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial F_2}{\partial x}\;} > $$ > Om likheten *inte* gäller är $\vec F$ inte konservativt. För 3D kontrolleras alla tre permutationer; det räcker att hitta ett par som inte stämmer för att utesluta konservativitet. > [!warning] Nödvändigt — inte alltid tillräckligt > Villkoret är *nödvändigt*, men för områden med hål (t.ex. $\mathbb R^2\setminus\{0\}$) räcker det inte. Se virvelfältet i [[Greens sats]] — där gäller villkoret men fältet är ändå inte konservativt globalt. > [!example]- Exempel — visa att $\vec F=e^{x^2y}\hat i+2y\,\hat j+z^2\hat k$ inte är konservativt > Antag motsatsen, dvs. $\vec F=\vec\nabla\phi$ för något $\phi$. Då måste blandade andraderivator stämma, t.ex. > > - $\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=x^2 e^{x^2 y}$, > - $\dfrac{\partial F_2}{\partial x}=0$. > > Eftersom dessa inte är lika är $\vec F$ inte konservativt. Det spelar ingen roll vilket par av komponenter man jämför — välj det par som ser enklast ut. --- ## 6. När fältet är "nästan" konservativt Inte alla fält är konservativa, men ett fält kan ofta delas upp som $$ \vec F=\vec\nabla\phi+\vec G $$ där $\vec\nabla\phi$ är den konservativa delen och $\vec G$ är resten. Den konservativa delen ger noll kring slutna kurvor, så bara $\vec G$-delen behöver beräknas direkt. > [!example]- Exempel — Stephans "weird example" > Beräkna > $$ > \oint_C \vec F\cdot d\vec r,\qquad C:\ 4x^2+y^2=4,\ \text{motsols}, > $$ > där > $$ > \vec F=\begin{bmatrix}e^x\sin y+3y\\ e^x\cos y+2x-2y\end{bmatrix}. > $$ > > **Konservativitetskoll.** Om fältet vore konservativt vore svaret $0$. Vi testar: > > - $\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=e^x\cos y+3$, > - $\dfrac{\partial F_2}{\partial x}=e^x\cos y+2$. > > Inte lika — alltså inte konservativt. Men det är *nära*. > > **Tricket.** Identifiera den konservativa delen $\vec C=\vec\nabla\phi$ med > $$ > \phi=e^x\sin y+2yx-y^2, > $$ > så att > $$ > \vec F=\vec C+\begin{bmatrix}y\\ 0\end{bmatrix}. > $$ > > Då blir > $$ > \oint_C \vec F\cdot d\vec r=\underbrace{\oint_C \vec C\cdot d\vec r}_{=\,0}+\oint_C \begin{bmatrix}y\\ 0\end{bmatrix}\cdot d\vec r. > $$ > > **Parametrisera ellipsen.** Från $4x^2+y^2=4$ följer $x^2+\tfrac{y^2}{4}=1$, så > $$ > x=\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]. > $$ > > Då blir > $$ > \oint_C\!\begin{bmatrix}y\\ 0\end{bmatrix}\!\cdot d\vec r=\int_0^{2\pi}\!\!\begin{bmatrix}2\sin t\\ 0\end{bmatrix}\!\cdot\!\begin{bmatrix}-\sin t\\ 2\cos t\end{bmatrix} dt=\int_0^{2\pi}-2\sin^2 t\,dt. > $$ > > Med $-2\sin^2 t=\cos(2t)-1$: > $$ > \int_0^{2\pi}\!\bigl(\cos(2t)-1\bigr)dt=0-2\pi=\boxed{-2\pi}. > $$ > > Termen $\int_0^{2\pi}\cos(2t)\,dt$ blir noll eftersom det är integration över två hela perioder. > > **Jämför.** Samma exempel räknas i [[Greens sats]] med en ren `dQ/dx - dP/dy`-räkning. Båda metoderna ger $-2\pi$. --- ## 7. Sammanfattning | Begrepp | Formel / villkor | |---|---| | Vektorfält | $\vec F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ | | Potential | $\vec F=\vec\nabla\phi$ | | Konservativitet (2D, nödv.) | $\partial F_1/\partial y=\partial F_2/\partial x$ | | Vägoberoende | $\int_C\vec\nabla\phi\cdot d\vec r=\phi(b)-\phi(a)$ | | Slutna kurvor (konservativt) | $\oint_C\vec F\cdot d\vec r=0$ | --- ## Läsning - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=907|16.1 Vector and Scalar Fields]] - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=914|16.2 Conservative Fields]] ## Se även - [[Gradient och riktningsderivata]] - [[Divergens och rotation]] - [[Kurvintegraler av vektorfält]] - [[Greens sats]] ## Resurser - [3Blue1Brown: Divergence and curl](https://youtu.be/rB83DpBJQsE) — geometrisk intuition. - [Khan Academy: Vector fields](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/visualizing-vector-valued-functions/v/vector-fields-introduction) - [Wikipedia: Vector field](https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field)